Probability and Stats Review

Overview

\[ \newcommand\ov{\overline} \newcommand\un{\underline} \newcommand\BB{\mathbb} \newcommand\EE{\mathbb{E}} \newcommand\mc{\mathcal} \newcommand\ti{\tilde} \newcommand\h{\hat} \newcommand\beq{\begin{equation}} \newcommand\eeq{\end{equation}} \newcommand\barr{\begin{array}} \newcommand\earr{\end{array}} \newcommand\bfp{\mathbf{p}} \newcommand\independent{\protect\mathpalette{\protect\independenT}{\perp}} \def\independenT#1#2{\mathrel{\rlap{$#1#2$}\mkern2mu{#1#2}}} \]

We have to review some core tools/ideas in statistics:

• Basics of distributions, populations vs sample. Mean, variance, etc
• Sample mean \(\rightarrow\) large sample theory \(\rightarrow\) population mean (estimation)
• Hypothesis testing and confidence intervals
• Linear models and linear regression
• You may find this cheat sheet very helpful for the course.

Random Variables

• Two kinds: discrete and continuous
• Q: What is the most complete description of a RV?
  • A: the distribution, \(F_{X}(x)=P[X\leq x]\).
• Q: If \(U\) is uniform on the interval \([0,1]\), what is \(P[U=0.5]\)?
  • A: 0. Need density for continuous RVs.
• Examples: coin flip, binomial, uniform, normal.

Joint Random Variables

• A random variable can take vector values (examples). \(F_{X}\) still defined.

• Suppose \(X\) and \(Y\) are both RVs. What does it mean for \(X\) and \(Y\) to be independent?

• Exercise: \[ X\sim\mc{N}(\mu_{X},\sigma^2_{X}),\ Y = \alpha X + Z,\ Z\sim\mc{N}(\mu_{Z},\sigma^2_{Z}),\ X\perp Z \]

  When is \(X\perp Y\)?

Population vs Sample

Suppose that \(X\) is a random vector with distribution \(F_{X}\).

• Population features are functions of the underlying (population) distribution \(F_{X}\).
• A sample is a finite number of observations drawn from this distribution. \(X_{1},X_{2},...,X_{N}\leftarrow F_{X}\)
  • The random variable \(X_{n}\), the \(n\)th draw from \(F_{X}\).
• A statistic is any function of a random sample: \(T_{N} = g(X_{1},X_{2},....,X_{N})\).
  • A statistic is therefore also a random variable. We call the distribution of a statistic the sampling distribution.

Two examples

1. \(X_{n}\) is number of heads from four flips of a fair coin. Sample is \((X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5})\).
   • Q: what is the distribution of \(X_{n}\)? What is sampling distribution of sample mean?
2. \(Z_{n}\sim\mc{N}(0,1)\). Sample is \((Z_{1},Z_{2},Z_{3},Z_{4})\).
   • Q: What is sampling distribution of sample mean?

Simulation example

To make things concrete, let’s code up a simulation.

N <- 5 # <- sample size
d <- data.frame()

for (r in 1:100) { #<- draw the sample 100 times
  X <- rbinom(N,4,0.5) # <- 4 trials, p=0.5
  sample = data.frame(sample = r, obs=1:N,X = X,sample_mean=mean(X))
  d <- rbind(d,sample)
}

For \(Z\) we can use rnorm instead of rbinom.

Simulation example

Simulation Example

Now let’s look at the sampling distribution of the sample mean \(\ov{X}_{5}\) from these 100 trials:

d %>%
    group_by(sample) %>%
    summarize(sample_mean = mean(X)) %>%
    ggplot(aes(x=sample_mean)) + geom_histogram(aes(y = after_stat(count / sum(count)))) + theme_minimal() + ylab("frequency")

Population vs Sample

In general, let \(X\sim\text{Binomial}(K,p)\) and \(Z\sim\mc{N}(\mu_{Z},\sigma^2_{Z})\).

• Population parameters of \(F_{X}\) are \(p\) and \(K\) (prob. of success and number of flips).
• Population parameters of \(F_{Z}\) are \(\mu_{Z}\) and \(\sigma^2_{Z}\).
• These are (potentially unknown) constants that govern completely the RV.
• Statistics is all about using the sample to make probabilistic statements about population.
• An estimator is a statistic designed to provide an estimate of some population parameter.
• The key is deriving the sampling distribution of the estimator which allows us to quantify uncertainty.

The Sample Mean

Why is the sample mean a good estimator of the population mean?

This matters because lots of estimators are (basically) sample means

1. Unbiased
   
2. Consistent (LLN)
3. Asymptotically normal (CLT)

The Power of the CLT

• The CLT says that we can approximate the sampling distribution of \(\ov{X}_{N}\) without knowing \(F_{X}\).
  
• Why is knowing the sampling distribution useful?
  1. Confidence intervals.
  2. Hypothesis testing.
• Exercise: define and derive a \((1-\alpha)\times100\%\) confidence interval

Example: Human Capital and Credit Constraints

Loading the Data

• Code to read in data
• Data

d79 <- read.csv("../data/LM_nlsy79.csv") %>%
    select(mfinc1617q,afqtq,Dhgacoll2122) %>%
    rename(hhinccat = mfinc1617q) %>%
    mutate(cohort = "79")

d97 <- read.csv("../data/LM_nlsy97.csv") %>%
    select(hhinccat,afqtq,Dhgacoll2122) %>%
    mutate(cohort = "97")

hhinccat	afqtq	Dhgacoll2122	cohort
3	2	0	79
3	3	1	79
3	2	1	79
3	3	1	79
1	4	1	79
3	4	1	79
4	4	1	79
1	4	1	79
4	4	1	79
2	4	0	79
2	3	1	79
4	1	0	79
1	3	1	79
3	1	1	79
4	2	0	79
4	3	1	79
2	3	0	79
4	4	0	79
4	4	1	79
4	2	0	79
4	4	1	79
4	4	1	79
4	4	1	79
4	4	1	79
4	2	1	79
4	4	1	79
1	2	1	79
3	1	0	79
2	2	0	79
3	3	1	79
3	3	1	79
2	3	0	79
2	2	0	79
4	3	0	79
4	3	NA	79
2	2	0	79
4	4	1	79
3	4	1	79
2	3	0	79
3	4	1	79
3	3	1	79
3	2	1	79
4	4	1	79
4	4	1	79
4	3	1	79
4	4	1	79
2	3	0	79
2	2	0	79
2	3	0	79
3	4	1	79
3	2	1	79
3	3	0	79
3	2	0	79
4	4	0	79
2	2	0	79
4	3	1	79
2	2	0	79
3	4	1	79
3	4	1	79
3	3	0	79
1	1	1	79
1	1	1	79
1	3	NA	79
4	3	0	79
4	3	1	79
3	3	1	79
4	4	1	79
3	4	1	79
3	3	1	79
3	4	1	79
3	1	0	79
4	3	1	79
2	1	NA	79
2	1	0	79
3	3	1	79
4	4	1	79
4	4	1	79
4	3	1	79
4	4	1	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
4	2	1	79
4	3	1	79
4	2	0	79
1	2	1	79
2	3	1	79
4	3	1	79
2	3	0	79
1	2	0	79
3	4	1	79
4	4	1	79
1	1	0	79
1	2	0	79
2	2	0	79
2	3	0	79
2	3	NA	79
4	4	1	79
3	2	0	79
4	4	1	79
2	3	1	79
1	3	1	79
2	2	0	79
4	3	0	79
3	4	1	79
4	4	1	79
4	1	0	79
2	3	1	79
2	2	0	79
3	3	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	2	NA	79
3	1	0	79
2	3	0	79
2	2	0	79
2	1	0	79
4	1	0	79
4	1	0	79
2	4	1	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	2	0	79
1	1	0	79
2	4	1	79
2	3	1	79
2	2	1	79
3	3	1	79
4	3	1	79
4	2	0	79
3	3	0	79
3	2	0	79
4	2	1	79
4	2	1	79
4	4	1	79
2	2	0	79
4	3	1	79
4	4	1	79
4	1	0	79
1	2	0	79
1	1	0	79
2	2	0	79
3	3	0	79
3	1	0	79
1	4	1	79
2	1	0	79
1	2	0	79
3	4	0	79
1	1	0	79
1	1	1	79
3	4	1	79
3	2	0	79
3	2	1	79
2	3	1	79
3	1	0	79
3	3	1	79
1	4	1	79
2	1	0	79
2	3	1	79
3	3	0	79
1	3	1	79
2	3	0	79
1	2	0	79
2	3	0	79
2	4	1	79
2	4	1	79
4	3	0	79
2	1	0	79
1	4	1	79
4	3	1	79
4	4	1	79
1	1	0	79
1	1	0	79
4	2	0	79
1	3	1	79
4	4	1	79
2	4	1	79
1	2	0	79
4	4	1	79
4	4	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
4	1	0	79
3	3	0	79
4	1	0	79
3	1	0	79
3	2	1	79
4	3	1	79
4	3	0	79
2	4	1	79
4	4	0	79
4	2	0	79
4	3	1	79
4	4	1	79
4	1	0	79
3	3	1	79
4	2	0	79
4	4	1	79
4	4	1	79
4	4	1	79
1	2	1	79
1	1	0	79
2	1	1	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	1	79
1	1	0	79
4	1	1	79
3	1	1	79
1	2	0	79
3	1	0	79
2	2	0	79
3	1	0	79
3	1	0	79
3	1	0	79
4	2	0	79
4	3	0	79
4	4	1	79
4	4	1	79
4	4	1	79
4	3	1	79
4	1	1	79
3	3	1	79
1	4	0	79
3	2	1	79
4	3	0	79
3	2	0	79
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1	2	1	79
1	3	1	79
1	1	0	79
3	3	1	79
3	3	1	79
4	3	1	79
4	3	0	79
4	3	1	79
4	2	1	79
4	2	0	79
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1	3	1	79
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1	1	0	79
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3	3	0	79
3	3	1	79
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4	4	1	79
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3	4	1	79
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4	3	0	79
4	3	1	79
3	2	0	79
3	2	0	79
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4	2	0	79
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4	4	1	79
4	3	0	79
3	4	1	79
4	3	1	79
4	3	1	79
3	4	1	79
3	3	0	79
4	4	1	79
3	4	1	79
3	4	1	79
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3	3	0	79
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4	4	1	79
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4	3	1	79
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3	2	0	79
3	3	0	79
2	1	1	79
1	2	1	79
2	4	1	79
2	2	0	79
1	3	1	79
1	2	0	79
1	2	0	79
2	2	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
2	3	1	79
3	3	1	79
2	4	1	79
3	3	1	79
3	2	1	79
1	4	1	79
3	2	1	79
3	3	0	79
2	1	0	79
3	4	1	79
3	2	0	79
3	2	0	79
4	4	1	79
2	3	NA	79
4	4	1	79
4	2	0	79
4	3	0	79
1	4	1	79
3	1	0	79
2	2	0	79
4	4	1	79
1	3	NA	79
3	1	0	79
3	2	0	79
3	3	1	79
1	2	0	79
1	2	0	79
2	3	1	79
3	2	0	79
4	2	0	79
3	3	0	79
3	4	1	79
2	4	1	79
2	4	1	79
4	3	1	79
3	4	1	79
4	3	NA	79
3	3	0	79
3	3	0	79
2	3	1	79
2	2	0	79
2	4	1	79
1	2	0	79
3	1	0	79
3	3	1	79
4	3	0	79
2	3	0	79
2	4	1	79
1	3	1	79
1	2	1	79
1	1	0	79
3	4	1	79
1	2	0	79
1	1	0	79
3	3	1	79
1	3	0	79
1	2	1	79
3	3	1	79
4	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
4	4	1	79
4	1	1	79
3	3	0	79
1	1	0	79
2	3	1	79
2	2	1	79
2	3	1	79
3	4	1	79
4	2	1	79
2	2	1	79
2	3	1	79
3	2	1	79
2	2	0	79
3	1	0	79
1	2	0	79
2	3	1	79
1	1	0	79
3	2	0	79
4	2	0	79
1	1	0	79
1	2	0	79
4	1	0	79
1	2	0	79
4	1	0	79
1	1	0	79
3	1	0	79
2	2	0	79
1	3	1	79
2	4	0	79
2	2	0	79
2	2	0	79
1	1	0	79
2	4	1	79
1	3	0	79
3	3	1	79
3	4	0	79
3	3	1	79
2	4	1	79
2	4	1	79
2	1	0	79
2	3	1	79
2	2	1	79
4	4	1	79
2	3	1	79
4	4	1	79
4	4	1	79
4	3	0	79
2	3	0	79
2	2	0	79
2	4	1	79
1	2	0	79
3	2	0	79
3	1	0	79
3	1	0	79
3	4	0	79
2	4	1	79
3	4	1	79
3	4	1	79
4	4	1	79
3	2	1	79
2	1	0	79
2	4	0	79
2	3	0	79
4	2	1	79
2	3	NA	79
3	3	1	79
2	4	1	79
3	4	0	79
2	4	1	79
3	3	1	79
2	3	1	79
3	2	1	79
3	3	1	79
1	1	0	79
3	3	0	79
2	4	1	79
1	1	0	79
1	4	1	79
1	3	0	79
2	4	1	79
2	4	1	79
2	3	1	79
2	4	0	79
2	4	NA	79
2	3	0	79
2	2	0	79
2	4	1	79
2	4	1	79
2	4	1	79
3	2	1	79
3	2	1	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	2	1	79
1	1	0	79
3	1	0	79
2	1	0	79
3	2	0	79
2	2	NA	79
3	1	1	79
4	2	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	1	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	2	0	79
1	1	0	79
2	4	1	79
2	3	1	79
1	1	0	79
2	4	1	79
1	2	1	79
4	2	0	79
3	1	1	79
4	2	0	79
3	3	0	79
2	3	1	79
1	2	1	79
2	1	0	79
1	3	NA	79
1	4	1	79
2	1	0	79
3	1	0	79
2	3	0	79
2	3	0	79
1	3	1	79
1	1	0	79
1	1	1	79
2	1	0	79
1	3	0	79
2	1	NA	79
2	1	0	79
1	2	0	79
1	1	0	79
1	4	0	79
3	2	1	79
2	4	1	79
2	4	1	79
4	1	0	79
2	2	1	79
2	2	0	79
2	1	0	79
3	1	0	79
3	2	0	79
3	3	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	2	0	79
1	4	1	79
2	3	0	79
1	2	0	79
2	3	0	79
2	3	0	79
2	1	0	79
3	3	0	79
1	2	0	79
2	2	0	79
2	2	0	79
2	1	0	79
4	2	0	79
1	1	0	79
1	3	0	79
2	2	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
2	1	0	79
4	2	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
2	1	0	79
2	1	0	79
3	1	1	79
2	3	1	79
2	2	1	79
4	3	0	79
4	2	0	79
2	2	0	79
1	1	0	79
1	3	0	79
2	1	0	79
1	1	0	79
2	1	0	79
1	1	1	79
3	2	1	79
1	2	0	79
2	2	0	79
4	1	0	79
1	3	0	79
4	2	1	79
4	4	1	79
4	3	0	79
4	4	1	79
4	3	0	79
4	3	0	79
1	1	0	79
2	1	NA	79
2	4	1	79
2	2	0	79
1	4	0	79
3	3	1	79
4	4	1	79
2	4	0	79
1	2	0	79
1	1	1	79
4	3	1	79
3	4	0	79
4	2	0	79
4	1	0	79
3	4	1	79
3	2	0	79
1	1	1	79
1	3	1	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
3	4	1	79
4	4	1	79
4	3	1	79
2	1	1	79
2	1	0	79
4	2	0	79
2	3	0	79
2	2	0	79
2	3	1	79
1	1	0	79
1	2	0	79
2	4	1	79
2	2	1	79
2	1	0	79
2	2	1	79
3	2	1	79
2	4	1	79
3	1	0	79
1	1	0	79
3	2	0	79
4	3	1	79
2	2	1	79
4	2	1	79
1	1	0	79
1	1	0	79
3	1	NA	79
2	1	0	79
2	1	0	79
1	1	1	79
2	2	0	79
1	2	0	79
1	2	1	79
1	1	0	79
1	2	1	79
1	1	0	79
2	2	0	79
3	4	1	79
3	3	1	79
1	1	1	79
1	1	1	79
3	4	1	79
2	1	0	79
3	4	0	79
3	1	0	79
1	3	1	79
1	4	1	79
2	3	0	79
2	1	0	79
3	2	0	79
3	2	0	79
1	4	1	79
2	4	1	79
4	3	1	79
1	3	0	79
3	3	1	79
1	2	1	79
4	4	1	79
4	4	1	79
3	4	1	79
4	3	1	79
2	2	1	79
3	3	0	79
3	4	0	79
2	1	0	79
2	1	0	79
1	2	0	79
1	2	1	79
1	3	0	79
1	2	1	79
1	1	1	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
2	1	0	79
4	3	1	79
4	2	0	79
4	4	1	79
4	4	1	79
2	2	1	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	1	0	79
1	2	0	79
2	3	0	79
2	2	0	79
1	1	1	79
3	4	1	79
4	4	1	79
4	3	1	79
1	2	1	79
3	3	0	79
2	4	1	79
1	3	1	79
4	4	1	79
4	3	0	79
2	4	1	79
2	4	1	79
4	4	0	79
4	2	1	79
2	3	0	79
3	1	0	79
4	4	1	79
2	1	0	79
3	3	1	79
1	2	1	79
2	1	0	79
2	1	0	79
2	1	0	79
3	2	1	79
3	3	1	79
4	3	1	79
2	4	1	79
3	3	1	79
2	3	1	79
4	3	1	79
4	4	1	79
2	2	0	79
2	4	1	79
2	4	1	79
1	3	0	79
3	2	0	79
2	2	0	79
3	3	1	79
1	3	0	79
4	3	0	79
2	2	0	79
3	4	1	79
3	2	0	79
1	3	0	79
3	3	1	79
2	1	0	79
2	4	1	79
3	2	0	79
2	3	1	79
2	1	0	79
4	3	1	79
3	4	1	79
1	1	0	79
3	1	0	79
3	1	0	79
3	3	0	79
2	2	1	79
1	2	0	79
2	2	0	79
3	2	0	79

Compute summary statistics

d_summary <- d79 %>%
    rbind(d97) %>% #<- bind the two cohort data sets together
    filter(!is.na(Dhgacoll2122),!is.na(hhinccat)) %>% #<- drop missing data
    group_by(cohort,afqtq,hhinccat) %>% #< define the cells to calc stats for
    summarize(attendance = mean(Dhgacoll2122), #<- mean college attendance by cell
              se = sqrt(attendance*(1-attendance)/n()), #<- standard deviation of sample mean
              N=n()) #<- number of obs per cell

knitr::kable(d_summary)

cohort	afqtq	hhinccat	attendance	se	N
79	1	1	0.1597444	0.0207084	313
79	1	2	0.1986755	0.0324704	151
79	1	3	0.1684211	0.0383962	95
79	1	4	0.3035714	0.0614433	56
79	2	1	0.3974359	0.0391808	156
79	2	2	0.3273810	0.0362040	168
79	2	3	0.2987805	0.0357422	164
79	2	4	0.4000000	0.0456832	115
79	3	1	0.4235294	0.0535946	85
79	3	2	0.5032258	0.0401601	155
79	3	3	0.5891892	0.0361712	185
79	3	4	0.6783920	0.0331114	199
79	4	1	0.7333333	0.0570899	60
79	4	2	0.8244275	0.0332406	131
79	4	3	0.8277778	0.0281427	180
79	4	4	0.9240000	0.0167600	250
97	1	1	0.1885522	0.0226970	297
97	1	2	0.1871658	0.0285229	187
97	1	3	0.3520000	0.0427173	125
97	1	4	0.4788732	0.0592861	71
97	2	1	0.4010417	0.0353706	192
97	2	2	0.5159574	0.0364477	188
97	2	3	0.6084656	0.0355036	189
97	2	4	0.6407186	0.0371273	167
97	3	1	0.5714286	0.0440867	126
97	3	2	0.6949153	0.0346090	177
97	3	3	0.7582938	0.0294728	211
97	3	4	0.8620690	0.0226390	232
97	4	1	0.7906977	0.0438675	86
97	4	2	0.8666667	0.0264639	165
97	4	3	0.8796680	0.0209576	241
97	4	4	0.9651899	0.0103114	316

Replicating analysis

• As in paper
• With confidence intervals

d_summary %>%
    ggplot(aes(x=afqtq,y=attendance)) + geom_col() + facet_grid(cohort ~ hhinccat) + theme_minimal()

d_summary %>%
    ggplot(aes(x=afqtq,y=attendance,ymin=attendance-1.96*se,ymax=attendance+1.96*se)) + geom_point() + 
    geom_errorbar() + facet_grid(cohort ~ hhinccat) + theme_minimal()

Hypothesis Testing

• Define Type I/II error
• Review logic of hypothesis test, define size and power.
• Hypothesis test on population means, normal distribution.
• Excercise
  • Null: Within an AFQT quartile, the relationship between college attendance and parental income has remained the same.
  • Alternative: the relationship has gotten steeper
• Exercise: Why one-sided test? Power.

Has family income become more important for college attendance?

• Calculating
• Plotting

# First calculate the differences between top and bottom quartile of income
diff <- d_summary %>%
    group_by(cohort,afqtq) %>%
    summarize(diff = attendance[4]-attendance[1],se = sqrt(se[1]^2 + se[4]^2))
diff    

# A tibble: 8 × 4
# Groups:   cohort [2]
  cohort afqtq    diff     se
  <chr>  <int>   <dbl>  <dbl>
1 79         1 0.144   0.0648
2 79         2 0.00256 0.0602
3 79         3 0.255   0.0630
4 79         4 0.191   0.0595
5 97         1 0.290   0.0635
6 97         2 0.240   0.0513
7 97         3 0.291   0.0496
8 97         4 0.174   0.0451

Has family income become more important for college attendance?

# first calculate
g_diff <- diff %>%
    group_by(afqtq) %>%
    summarize(g_diff = diff[2]-diff[1],se = sqrt(se[1]^2+se[2]^2))
knitr::kable(g_diff)

afqtq	g_diff	se
1	0.1464940	0.0907420
2	0.2371128	0.0790671
3	0.0357778	0.0801555
4	-0.0161745	0.0746380

Has family income become more important for college attendance?

z_crit=qnorm(0.95)
results <- g_diff %>%
    mutate(test_stat = g_diff/se) %>%
    mutate(reject = test_stat>z_crit) %>% #<- the one-side 95% test
    mutate(pval = 1-pnorm(test_stat)) #<- calculate the p-value
knitr::kable(results)

afqtq	g_diff	se	test_stat	reject	pval
1	0.1464940	0.0907420	1.6144014	FALSE	0.0532202
2	0.2371128	0.0790671	2.9988819	TRUE	0.0013549
3	0.0357778	0.0801555	0.4463555	FALSE	0.3276702
4	-0.0161745	0.0746380	-0.2167054	FALSE	0.5857810

Example: do incentives improve teacher attendance?

A Hypothesis Test for Duflo, Hanna, & Ryan (2012)

• Null: There is no jump in work attendance at the beginning of the month for teachers who are “out of the money” at the end of the month.
• Alternative: There is a positive jump in attendance.
• Inference: Any jump in attendance is the effect of financial incentives. (assuming what?)

Hypothesis Test in Duflo, Hanna, & Ryan (2012)

Looking at the data:

d <- read.csv("~/Dropbox/Teaching/Econ4261/1-IntroAndReview/data/DufloHannaRyan.csv") %>%
  filter(!is.na(inthemoney)) %>%
  mutate(InTheMoney = inthemoney==1,FirstDay=t==1)
d %>%
  select(schid,t,InTheMoney,worked,year,month,day) %>%
  filter(t==-1 | t==1) %>%
  arrange(schid,year,month,day) %>%
  knitr::kable()

schid	t	InTheMoney	worked	year	month	day
12211	-1	TRUE	1	2003	10	31
12211	1	TRUE	1	2003	11	1
12211	-1	TRUE	1	2003	11	29
12211	1	TRUE	1	2003	12	3
12211	-1	TRUE	1	2003	12	31
12211	1	TRUE	1	2004	1	2
12211	-1	TRUE	1	2004	1	31
12211	1	TRUE	1	2004	2	3
12211	-1	TRUE	1	2004	2	28
12211	1	TRUE	1	2004	3	1
12211	-1	TRUE	1	2004	3	31
12211	1	TRUE	1	2004	4	3
12211	-1	TRUE	0	2004	4	30
12211	1	TRUE	1	2004	5	1
12211	-1	TRUE	1	2004	5	31
12211	1	TRUE	1	2004	6	1
12211	-1	TRUE	1	2004	6	30
12211	1	TRUE	0	2004	7	1
12211	-1	TRUE	1	2004	7	31
12211	1	TRUE	1	2004	8	3
12211	-1	TRUE	0	2004	8	31
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55111	1	TRUE	0	2005	5	1
55111	-1	TRUE	1	2005	5	31
55111	1	TRUE	1	2005	6	1
55111	-1	TRUE	0	2005	6	30
55111	1	TRUE	0	2005	7	1
55111	-1	TRUE	0	2005	7	31
55111	1	TRUE	0	2005	8	1
55111	-1	TRUE	1	2005	8	31
55111	1	TRUE	1	2005	9	1
55111	-1	TRUE	1	2005	9	30
55111	1	TRUE	1	2005	10	1
55111	-1	TRUE	0	2005	10	31
55111	1	TRUE	1	2005	11	4
55111	-1	TRUE	1	2005	11	30
55111	1	TRUE	1	2005	12	1
55111	-1	TRUE	1	2005	12	31
55211	1	TRUE	0	2003	10	2
55211	-1	TRUE	1	2003	10	31
55211	1	TRUE	0	2003	11	1
55211	-1	TRUE	1	2003	11	29
55211	1	TRUE	0	2003	12	2
55211	-1	TRUE	1	2003	12	31
55211	1	TRUE	1	2004	1	1
55211	-1	TRUE	1	2004	1	31
55211	1	TRUE	0	2004	2	2
55211	-1	TRUE	1	2004	2	28
55211	1	TRUE	1	2004	3	1
55211	-1	TRUE	1	2004	3	31
55211	1	TRUE	0	2004	4	2
55211	-1	TRUE	0	2004	4	30
55211	1	TRUE	0	2004	5	1
55211	-1	TRUE	0	2004	5	31
55211	1	TRUE	0	2004	6	1
55211	-1	TRUE	0	2004	6	30
55211	1	TRUE	1	2004	7	1
55211	-1	TRUE	1	2004	7	31
55211	1	TRUE	1	2004	8	3
55211	-1	TRUE	0	2004	8	31
55211	1	TRUE	1	2004	9	1
55211	-1	TRUE	1	2004	9	30
55211	1	TRUE	1	2004	10	1
55211	-1	TRUE	1	2004	10	30
55211	1	TRUE	1	2004	11	1
55211	-1	TRUE	0	2004	11	30
55211	1	TRUE	1	2004	12	1
55211	-1	TRUE	0	2004	12	31
55211	1	TRUE	1	2005	1	1
55211	-1	TRUE	0	2005	1	30
55211	1	TRUE	0	2005	2	1
55211	-1	TRUE	1	2005	2	28
55211	1	TRUE	1	2005	3	1
55211	-1	TRUE	1	2005	3	29
55211	1	TRUE	1	2005	4	1
55211	-1	TRUE	0	2005	4	30
55211	1	TRUE	0	2005	5	1
55211	-1	TRUE	0	2005	5	31
55211	1	TRUE	0	2005	6	1
55211	-1	FALSE	0	2005	6	30
56311	1	FALSE	1	2003	10	1
56311	-1	TRUE	1	2003	10	31
56311	1	TRUE	0	2003	11	1
56311	-1	TRUE	1	2003	11	29
56311	1	TRUE	1	2003	12	2
56311	-1	TRUE	1	2003	12	31
56311	1	TRUE	1	2004	1	1
56311	-1	TRUE	0	2004	1	31
56311	1	TRUE	1	2004	2	2
56311	-1	TRUE	1	2004	2	28
56311	1	TRUE	1	2004	3	1
56311	-1	TRUE	1	2004	3	31
56311	1	TRUE	0	2004	4	2
56311	-1	TRUE	1	2004	4	30
56311	1	TRUE	0	2004	5	1
56311	-1	TRUE	0	2004	5	31
56311	1	TRUE	1	2004	6	1
56311	-1	TRUE	1	2004	6	30
56311	1	TRUE	1	2004	7	1
56311	-1	TRUE	1	2004	7	31
56311	1	TRUE	1	2004	8	2
56311	-1	TRUE	0	2004	8	31
56311	1	TRUE	0	2004	9	1
56311	-1	TRUE	1	2004	9	30
56311	1	TRUE	1	2004	10	1
56311	-1	TRUE	1	2004	10	30
56311	1	TRUE	1	2004	11	1
56311	-1	FALSE	0	2004	11	30
56311	1	FALSE	0	2004	12	1
56311	-1	TRUE	1	2004	12	31
56311	1	TRUE	1	2005	1	1
56311	-1	TRUE	0	2005	1	30
56311	1	TRUE	0	2005	2	1
56311	-1	TRUE	1	2005	2	28
56311	1	TRUE	0	2005	3	1
56311	-1	TRUE	0	2005	3	29
56311	1	TRUE	0	2005	4	1
56311	-1	TRUE	0	2005	4	30
56311	1	TRUE	0	2005	5	1
56311	-1	FALSE	0	2005	5	31
56311	1	FALSE	1	2005	6	1
56311	-1	TRUE	0	2005	6	30
56311	1	TRUE	0	2005	7	1
56311	-1	TRUE	0	2005	7	31
56311	1	TRUE	0	2005	8	1
56311	-1	TRUE	1	2005	8	31
56311	1	TRUE	1	2005	9	1
56311	-1	TRUE	1	2005	9	30
56311	1	TRUE	1	2005	10	1
56311	-1	TRUE	0	2005	10	31
56311	1	TRUE	0	2005	11	4
56311	-1	TRUE	1	2005	11	30
56311	1	TRUE	1	2005	12	1
56311	-1	TRUE	1	2005	12	31

It’s a panel! We see the same teacher multiple times. Why could this be an issue?

Replicating the figure

• Calculating means
• Plot

d_mean <- d %>%
  group_by(t,InTheMoney) %>%
  summarize(work = mean(worked),se = sd(worked)/sqrt(n())) # the function n() returns the number of observations for each pair
knitr::kable(d_mean)

t	InTheMoney	work	se
-10	FALSE	0.0873786	0.0279607
-10	TRUE	0.7900600	0.0119269
-9	FALSE	0.0970874	0.0293160
-9	TRUE	0.7248322	0.0129408
-8	FALSE	0.0970874	0.0293160
-8	TRUE	0.7541667	0.0124350
-7	FALSE	0.1165049	0.0317668
-7	TRUE	0.7591362	0.0123286
-6	FALSE	0.1359223	0.0339330
-6	TRUE	0.7219512	0.0127802
-5	FALSE	0.1747573	0.0376018
-5	TRUE	0.7852029	0.0115881
-4	FALSE	0.2038835	0.0398914
-4	TRUE	0.7582160	0.0119816
-3	FALSE	0.1844660	0.0384042
-3	TRUE	0.7660728	0.0117864
-2	FALSE	0.1683168	0.0374147
-2	TRUE	0.7072419	0.0126348
-1	FALSE	0.1584158	0.0365130
-1	TRUE	0.6820276	0.0129109
1	FALSE	0.3465347	0.0475866
1	TRUE	0.6768995	0.0129606
2	FALSE	0.3861386	0.0486863
2	TRUE	0.6899463	0.0128180
3	FALSE	0.3689320	0.0477762
3	TRUE	0.6845741	0.0128781
4	FALSE	0.4174757	0.0488284
4	TRUE	0.7244820	0.0123818
5	FALSE	0.4757282	0.0494490
5	TRUE	0.7452034	0.0120762
6	FALSE	0.5242718	0.0494490
6	TRUE	0.7636224	0.0117744
7	FALSE	0.5728155	0.0489796
7	TRUE	0.8066002	0.0109459
8	FALSE	0.6116505	0.0482573
8	TRUE	0.7981581	0.0111236
9	FALSE	0.5533981	0.0492242
9	TRUE	0.7475058	0.0120400
10	FALSE	0.4368932	0.0491115
10	TRUE	0.7405986	0.0121471

d_mean %>%
  ggplot(aes(x=t,y=work,color=InTheMoney)) + geom_point() + theme_minimal() + 
  ylab("Average Attendance") + geom_vline(xintercept=0,linetype="dashed")

Technical Aside

• How to calculate standard errors when data is “clustered”?
• Let data be \(X_{cn}\) where \(c\in{1,2,..,C}\) indexes a “cluster”
• \(X_{cn} \perp X_{dm}\) only if \(c\neq d\)
• Calculate \(\BB{V}[\ov{X}]\) in this case.
• In our case, \(c\) indexes individuals and \(n\) different time periods

Replicating DHR (2012)

The authors examine the effect by first creating a dataset of matched pairs:

last_day <- d %>%
  filter(t==-1,!InTheMoney) %>%
  mutate(month_index = year*12 + month,worked_last = worked) %>%
  select(schid,month_index,InTheMoney,worked_last)

matched_pairs <- d %>%
  filter(t==1) %>%
  mutate(month_index = year*12 + month - 1) %>% #<- for the merge
  inner_join(last_day) %>%
  select(schid,year,month,worked,worked_last,InTheMoney) %>%
  arrange(schid,year,month)

knitr::kable(matched_pairs)

Replicating DHR (2012)

schid	year	month	worked	worked_last	InTheMoney
15111	2003	12	1	1	FALSE
15311	2004	1	1	1	FALSE
15411	2004	1	0	0	FALSE
22211	2003	12	1	1	FALSE
22211	2004	8	0	0	FALSE
22211	2005	9	0	0	FALSE
22411	2004	1	1	1	FALSE
23111	2004	6	0	0	FALSE
23111	2004	7	0	0	FALSE
23111	2004	12	0	0	FALSE
23511	2004	4	0	0	FALSE
23513	2004	12	0	0	FALSE
23513	2005	1	0	0	FALSE
23513	2005	2	0	0	FALSE
23513	2005	3	1	0	FALSE
23513	2005	9	0	0	FALSE
24112	2005	11	1	0	FALSE
24511	2005	3	0	0	FALSE
24522	2005	7	1	0	FALSE
24522	2005	8	1	0	FALSE
24522	2005	10	0	0	FALSE
24522	2005	11	0	0	FALSE
24541	2004	7	1	1	FALSE
31311	2004	7	0	0	FALSE
31311	2004	11	0	0	FALSE
31311	2004	12	0	0	FALSE
31311	2005	1	0	0	FALSE
31311	2005	2	0	0	FALSE
31311	2005	6	0	0	FALSE
31311	2005	7	0	0	FALSE
32311	2005	8	1	0	FALSE
32411	2004	6	0	0	FALSE
32411	2004	7	0	0	FALSE
32411	2005	3	0	1	FALSE
32412	2005	12	1	0	FALSE
32421	2004	7	0	0	FALSE
32421	2005	7	1	0	FALSE
33211	2004	6	0	0	FALSE
33211	2004	7	1	0	FALSE
33211	2005	6	0	0	FALSE
34111	2004	6	0	0	FALSE
34121	2004	4	0	0	FALSE
34121	2004	5	0	0	FALSE
34121	2004	6	0	0	FALSE
41111	2003	12	1	0	FALSE
41111	2004	6	0	1	FALSE
41111	2004	7	0	0	FALSE
41111	2005	6	0	0	FALSE
41111	2005	9	1	0	FALSE
41121	2003	12	1	1	FALSE
41121	2004	6	0	0	FALSE
41121	2004	7	0	0	FALSE
41121	2005	7	0	0	FALSE
42411	2004	3	0	0	FALSE
42411	2004	6	0	0	FALSE
42411	2004	7	0	0	FALSE
42411	2004	8	0	0	FALSE
42411	2005	6	0	1	FALSE
42411	2005	11	0	0	FALSE
42411	2005	12	0	0	FALSE
42511	2003	11	0	0	FALSE
42511	2003	12	1	1	FALSE
42521	2003	11	1	0	FALSE
42521	2004	12	1	0	FALSE
42531	2005	11	1	0	FALSE
43122	2005	5	0	1	FALSE
43122	2005	11	1	1	FALSE
43122	2005	12	0	0	FALSE
45111	2005	11	1	0	FALSE
45121	2005	8	0	0	FALSE
45131	2005	8	0	0	FALSE
45141	2003	11	1	0	FALSE
45141	2005	7	0	0	FALSE
45411	2005	12	0	0	FALSE
45511	2005	12	0	0	FALSE
51211	2003	11	1	1	FALSE
51211	2005	5	0	1	FALSE
51221	2003	11	0	0	FALSE
51221	2003	12	1	1	FALSE
51221	2004	9	1	0	FALSE
53111	2004	6	1	0	FALSE
53111	2005	6	0	0	FALSE
53111	2005	10	0	0	FALSE
53111	2005	11	0	0	FALSE
53111	2005	12	0	0	FALSE
53311	2005	8	0	0	FALSE
53621	2004	4	0	0	FALSE
54111	2005	6	0	0	FALSE
54111	2005	8	1	0	FALSE
54111	2005	9	0	0	FALSE
56311	2004	12	0	0	FALSE
56311	2005	6	1	0	FALSE

Calculating estimates

# estimate the average effect
est <- mean(matched_pairs$worked - matched_pairs$worked_last) 

N = nrow(matched_pairs)

# estimate the standard errors (with clustering)
se <- matched_pairs %>%
  mutate(diff = worked - worked_last) %>%
  group_by(schid) %>%
  summarize(ssq = sum(diff - est)^2) %>%
  ungroup() %>%
  summarize(se = sqrt(sum(ssq)/N^2))

Do incentives affect teacher attendance?

With an estimate and a standard error we can do our hypothesis test.

pval = 1-pnorm(est/se$se)
pval

[1] 0.002004044

Under the null, accounting for clustering, we would expect to see an estimate as large as 0.152 only 0.002% of the time. Thus at all conventional significance levels we would reject the null of no difference.

Testing assumptions

• Key assumption: absent incentivces, should be no change going from last day to first day
• We could control for this using individuals still in the money at end of last month
• In general, how could we control for day-of-month type effects?
• Answer: OLS